Question

10．已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，3）．设$\overrightarrow a$=$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow b$=$\overrightarrow{AC}$，
（1）求$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$的夹角θ；
（2）若向量k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$与k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$互相垂直，求k的值．
（3）求|$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$|．

Answer 1

分析 （1）运用向量的夹角公式和夹角范围，即可得到；
（2）运用向量垂直的条件，得到k的方程，计算即可得到．
（3）向量的模的公式，计算即可得到；

解答 解：（1）空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，3）．
设$\overrightarrow a$=$\overrightarrow{AB}$=（1，1，0），$\overrightarrow b$=$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，1），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1+0+0=-1，|$\overrightarrow a$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{2π}{3}$，
（2）（k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•（k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=k²|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{b}$|²=2k²-2=0，
解得k=±1，
（3）|$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow{a}$|²+9|$\overrightarrow{b}$|²+6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2+9×2+6×（-1）=14．

点评 本题考查空间向量的坐标运算，考查空间向量是数量积的坐标表示，以及向量的模和向量共线和垂直的表示，考查运算能力，属于中档题．