Question

19．已知过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，斜率为$\sqrt{2}$的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=6．
（Ⅰ）求该抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式列方程解出p；
（II）对直线l是否有斜率进行讨论，联立直线方程与抛物线方程，根据根与系数的关系求出|y₁-y₂|，得出面积关于斜率k的函数，综合两种情况得出面积的最小值．

解答 解：（I）抛物线的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），∴直线AB的方程为：y=$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=\sqrt{2}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，消元得：x²-2px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=2p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{4{p}^{2}-{p}^{2}}$=6，
解得p=2．
∴抛物线C的方程为：y²=4x．
（II）当直线l无斜率时，直线l的方程为x=1，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得A（1，-2），B（1，2）．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×OF×AB$=2．
当直线l有斜率时，设直线l方程为y=k（x-1）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消元得：y²-$\frac{4}{k}y$-4=0．
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+16}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×OF×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}+4}$＞2．
综上，△AOB面积的最小值为2．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．