Question

4．下列结论正确的个数是（　　）
①若$\overline a=（λ，2），\overline b=（-3，1）$，且$\overline a$与$\overline b$夹角为锐角，则$λ∈（-∞，\frac{2}{3}）$；
②点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足$\overline{OA}•\overline{OB}=\overline{OB}•\overline{OC}=\overline{OC}•\overline{OA}$，则点O是三角形ABC的内心；
③若△ABC中，$\overline{AB}•\overline{BC}＜0$，则△ABC是钝角三角形；
④若△ABC中，$\overline{AB}•\overline{BC}=\overline{BC}•\overline{CA}=\overline{CA}•\overline{AB}$，则△ABC是正三角形．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由向量的数量积大于0且不共线求得λ值判断①；把已知向量等式变形可得点O是三角形ABC的垂心判断②；由$\overline{AB}•\overline{BC}＜0$，可得∠ABC为锐角，不一定有△ABC是钝角三角形判断③；把已知向量等式变形，可得△ABC三边相等判断④．

解答 解：①若$\overline a=（λ，2），\overline b=（-3，1）$，且$\overline a$与$\overline b$夹角为锐角，
则$\left\{\begin{array}{l}{-3λ+2＞0}\\{λ+6≠0}\end{array}\right.$，解得$λ＜\frac{2}{3}$且λ≠-6．故①错误；
②点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足$\overline{OA}•\overline{OB}=\overline{OB}•\overline{OC}=\overline{OC}•\overline{OA}$，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，得$\overrightarrow{OB}•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AC}=0$，同理，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}=0$，
则点O是三角形ABC的垂心，故②错误；
③若△ABC中，$\overline{AB}•\overline{BC}＜0$，可得∠ABC为锐角，不一定有△ABC是钝角三角形，故③错误；
④若△ABC中，$\overline{AB}•\overline{BC}=\overline{BC}•\overline{CA}=\overline{CA}•\overline{AB}$，
由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}$，得$\overrightarrow{BC}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=0$，可得AB=AC，同理BA=BC，则△ABC是正三角形，故④正确．
∴正确结论的个数是1个．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了平面向量的数量积运算及其有关概念，是中档题．