Question

13．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为2，直线l与双曲线C交于A，B两点，线段AB中点M在第一象限，并且在抛物线y²=2px（p＞0）上，若点M到抛物线焦点的距离为p，则直线l的斜率为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据抛物线的性质求出M的坐标，设直线l的斜率为k，得出l的点斜式方程，根据双曲线的性质求出双曲线方程，联立直线方程与双曲线方程消元，根据根与系数的关系和中点坐标公式列出方程解出k．

解答 解：设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}=2$，
∴b²=3a²．即双曲线方程为3x²-y²=3a²．
抛物线的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
∵点M到抛物线焦点的距离为p，∴M（$\frac{p}{2}$，p）．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-p=k（x-$\frac{p}{2}$），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-{y}^{2}=3{a}^{2}}\\{y-p=k（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，消元得：（3-k²）x²-（2kp-k²p）x-$\frac{{k}^{2}p}{4}$-p²+kp²-3a²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{2kp-{k}^{2}p}{3-{k}^{2}}$，
∵AB的中点为M（$\frac{p}{2}$，p）．
∴$\frac{2kp-{k}^{2}p}{3-{k}^{2}}$=p，解得k=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了抛物线，双曲线的性质，直线与圆锥曲线的关系，属于中档题．