Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，点B在椭圆C上运动时，AB⊥x轴时，|AB|取得最大值4．
（1）求a的取值范围；
（2）若弦AB经过点F₁时，△ABF₂是等腰三角形，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2b=4，即b=2，设B（m，n），代入椭圆方程，运用两点的距离公式可得|AB|=$\sqrt{{m}^{2}+（n-2）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}（1-\frac{{n}^{2}}{4}）+{n}^{2}-4n+4}$，配方，结合二次函数的最值求法，可得-2≥$\frac{8}{4-{a}^{2}}$，且a＞2，即可得到所求范围；
（2）由题意可得|AB|=|BF₂|，由|AF₁|=|AF₂|=a，设|BF₂|=t，可得|BF₁|=t-a，运用椭圆的定义求得t，再由三角形的余弦函数的定义和余弦定理，化简可得a²=3c²，又a²-c²=4，解得a，即可得到椭圆方程．

解答 解：（1）AB⊥x轴时，|AB|取得最大值4，
则B为椭圆的下顶点（0，-b），可得2b=4，即b=2，A（0，2），
设B（m，n），代入椭圆方程可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，
即有m²=a²（1-$\frac{{n}^{2}}{4}$），
|AB|=$\sqrt{{m}^{2}+（n-2）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}（1-\frac{{n}^{2}}{4}）+{n}^{2}-4n+4}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（4-{a}^{2}）（n-\frac{8}{4-{a}^{2}}）^{2}+16+4{a}^{2}-\frac{64}{4-{a}^{2}}}$，
由a＞2，可得4-a²＜0，由题意可得n=-2时，取得最大值，
即有-2≥$\frac{8}{4-{a}^{2}}$，解得2＜a≤2$\sqrt{2}$，
可得a的取值范围是（2，2$\sqrt{2}$]．
（2）△ABF₂是等腰三角形，由图形可得|AB|=|BF₂|，
由|AF₁|=|AF₂|=a，设|BF₂|=t，可得|BF₁|=t-a，
由椭圆的定义可得|BF₁|+|BF₂|=2a，
即2t-a=2a，解得t=$\frac{3}{2}$a，
即有|BF₁|=$\frac{1}{2}$a，|BF₂|=$\frac{3}{2}$a，
在直角三角形AOF₁中，可得cos∠AF₁O=$\frac{c}{a}$，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF₁F₂=$\frac{\frac{1}{4}{a}^{2}+4{c}^{2}-\frac{9}{4}{a}^{2}}{2•\frac{1}{2}a•2c}$=-$\frac{c}{a}$，
化简可得a²=3c²，又a²-c²=4，
解得a=$\sqrt{6}$，b=2，c=$\sqrt{2}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，注意运用转化思想和方程思想，考查二次函数的最值的求法，以及三角函数的定义和余弦定理的运用，属于中档题．