Question

15．已知点P（x，y）为曲线$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{12}$=1（y≥0）上的任意一点，求x+2y-12的取值范围．

Answer 1

分析 由椭圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，可设$P（4cosθ，2\sqrt{3}sinθ）$，t=x+2y-12，运用两角和的正弦公式，结合y≥0，可得θ∈[0，π]，运用正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{12}$=1，
可得椭圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，
可设$P（4cosθ，2\sqrt{3}sinθ）$，t=x+2y-12，
则$t=4cosθ+4\sqrt{3}sinθ-12=8（\frac{1}{2}cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）-12=8sin（θ+\frac{π}{6}）-12$，
由y≥0，可得θ∈[0，π]，
即有θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
则sin（θ+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
可得t∈[-16，-4]，
故x+2y-12的取值范围[-16，-4]．

点评 本题考查椭圆的参数方程的运用，考查辅助角公式和正弦函数的图象和性质的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．