Question

6．已知抛物线M：x²=4y，圆C：x²+（y-3）²=4，在抛物线M上任取一点P，向圆C作两条切线PA和PB，切点分别为A，B，则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的取值范围是[0，4）．

Answer 1

分析 设∠ACB=2θ，可得$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=4cos2θ．设P$（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$，可得|CP|²=${x}_{0}^{2}$+$（\frac{{x}_{0}^{2}}{4}-3）^{2}$=$\frac{1}{16}（{x}_{0}^{2}-4）^{2}$+8，利用二次函数的性质可得其最小值，根据2θ的取值范围即可得出．

解答 解：设∠ACB=2θ，
则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=4cos2θ．
设P$（{x}_{0}，\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$，
则|CP|²=${x}_{0}^{2}$+$（\frac{{x}_{0}^{2}}{4}-3）^{2}$=$\frac{{x}_{0}^{4}}{16}$-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$+9=$\frac{1}{16}（{x}_{0}^{2}-4）^{2}$+8，
∴当x₀=±2时，|CP|取得最小值2$\sqrt{2}$，2θ取得最大值$\frac{π}{2}$，即cos2θ取得最小值0．
又2θ＞0，∴cos2θ＜1．
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=4cos2θ∈[0，4）．
故答案为：[0，4）．

点评 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、两点之间的距离公式、二次函数的单调性、三角函数的单调性、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．