Question

17．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”E为：x²+y²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．若抛物线y²=4x的焦点与椭圆C的右焦点重合，且椭圆C的短轴长与焦距相等．
（1）求椭圆C及其“相关圆”E的方程；
（2）过“相关圆”E上任意一点P作其切线l，若l与椭圆C交于A，B两点，求证：∠AOB为定值（O为坐标原点）；
（3）在（2）的条件下，求△OAB面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点，可得c=1，由a，b，c的关系可得a，进而得到椭圆方程和圆E的方程；
（2）讨论切线l的斜率不存在，求出方程，可得交点A，B，求得向量OA，OB的坐标，可得∠AOB为90°；l的斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，计算向量OA，OB的数量积，即可得证；
（3）求得△AOB的面积，讨论直线l的斜率，运用弦长公式和基本不等式，求得最值，由不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由抛物线y²=4x的焦点（1，0）与椭圆C的右焦点重合，
可得c=1，又因为椭圆C的短轴长与焦距相等，则b=c=1．a=$\sqrt{2}$，
故椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，其“相关圆”E的方程为：x²+y²=$\frac{2}{3}$；
（2）证明：当切线l的斜率不存在时切线方程为x=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
与椭圆的两个交点为（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，±$\frac{\sqrt{6}}{3}$）或（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，±$\frac{\sqrt{6}}{3}$）
此时$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{6}{9}$-$\frac{6}{9}$=0，即∠AOB=90°；
当切线l斜率存在时，可设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，可得
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
则△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，即为1+2k²＞m²，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
可得y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²•$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+km（-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）+m²=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由l与圆x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，可得d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，化为3m²=2k²+2，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3{m}^{2}-2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，即∠AOB=90°．
综上所述∠AOB=90°为定值；
（3）由于${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}|{AB}|•|{OP}|=\frac{{\sqrt{6}}}{6}|{AB}|$，
求S_△OAB的取值范围，只需求出弦长|AB|的取值范围．
当直线l的斜率不存在时，可得|AB|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，S_△AOB=$\frac{2}{3}$；           
当直线l的斜率存在时，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16{k}^{2}{m}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{8{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+2{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{8}{3}•\frac{（1+{k}^{2}）（1+4{k}^{2}）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}（1+\frac{{k}^{2}}{1+4{k}^{2}+4{k}^{4}}）}$，
由$\frac{{k}^{2}}{1+4{k}^{2}+4{k}^{4}}$=$\frac{1}{4+4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}$≤$\frac{1}{4+4}$=$\frac{1}{8}$，
故$\frac{8}{3}＜\frac{8}{3}（{1+\frac{1}{{4{k^2}+\frac{1}{k^2}+4}}}）≤3$，
故$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}＜|{AB}|≤\sqrt{3}$，当且仅当4k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$|{AB}|=\sqrt{3}$．
于是|AB|的取值范围为$[{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\sqrt{3}}]$．
因此S_△OAB的取值范围为$[{\frac{2}{3}，\;\;\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用抛物线的焦点，考查直线和圆相切的条件：d=r，同时考查三角形的面积的取值范围，注意运用韦达定理和弦长公式，及基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．