Question

6．若一元二次不等式mx²+（2-m）x-2＞0恰有3个整数解，则实数m的取值范围是-$\frac{1}{2}$＜m≤-$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 根据题意得出m＜0，再把不等式mx²+（2-m）x-2＞0化为（x-1）（x+$\frac{2}{m}$）＜0，求出对应方程的两个实数根，由不等式的解集中恰有3个整数解，得出4＜-$\frac{2}{m}$≤5，由此求出m的取值范围．

解答 解：根据题意得m＜0，
又一元二次不等式mx²+（2-m）x-2＞0可化为（x-1）（mx+2）＞0，
即（x-1）（x+$\frac{2}{m}$）＜0；
且对应方程的两个实数根为1和-$\frac{2}{m}$，
又不等式的解集中恰有3个整数解，
所以这三个整数分别为2、3、4；
则4＜-$\frac{2}{m}$≤5，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{m}+4＜0}\\{\frac{2}{m}+5≥0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{1}{2}$＜m≤-$\frac{2}{5}$；
综上，实数m的取值范围是-$\frac{1}{2}$＜m≤-$\frac{2}{5}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$＜m≤-$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及根与系数的关系应用问题，是基础题目．