Question

16．在正方形ABCD中，AB=AD=2，M，N分别是边BC，CD上的动点，且MN=$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的取值范围为[4，8-2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 建立坐标系，设CM=a，得出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$关于a的解析式，根据a的范围和基本不等式得出答案．

解答 解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：
设CM=a，则CN=$\sqrt{2-{a}^{2}}$．∴0$≤a≤\sqrt{2}$．
∴M（2，2-a），N（2-$\sqrt{2-{a}^{2}}$，2）．
∴$\overrightarrow{AM}$=（2，2-a），$\overrightarrow{AN}$=（2-$\sqrt{2-{a}^{2}}$，2）．
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=4-2$\sqrt{2-{a}^{2}}$+4-2a=8-2（a+$\sqrt{2-{a}^{2}}$）．
∵2a$\sqrt{2-{a}^{2}}$≤a²+（$\sqrt{2-{a}^{2}}$）²=2，
∴（a+$\sqrt{2-{a}^{2}}$）²=2+2a$\sqrt{2-{a}^{2}}$≤4．
∴a+$\sqrt{2-{a}^{2}}$≤2．
又由三角形的性质可得MC+CN＞MN=$\sqrt{2}$，当M，C，N三点共线时，MC+CN=MN=$\sqrt{2}$．
∴$\sqrt{2}≤$a+$\sqrt{2-{a}^{2}}$≤2．
∴当a+$\sqrt{2-{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$时，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$取得最大值8-2$\sqrt{2}$，当a+$\sqrt{2-{a}^{2}}$=2时，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$取得最小值4．
故答案为：[4，8-2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，基本不等式的应用，属于中档题．