Question

1．如图，椭圆E的方程为$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上，满足BM=2MA，直线OM的斜率为$\frac{1}{4}$．
（1）求椭圆E的离心率e；
（2）设点C的坐标为（0，-b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为$\frac{11}{5}$，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知结合比例性质求得M坐标，再由直线OM的斜率为$\frac{1}{4}$，列式得到a，b的关系，结合隐含条件求得椭圆E的离心率e；
（2）由中点坐标公式可得A，C中点N的坐标，又点N关于直线AB的对称点N′的纵坐标为$\frac{11}{5}$，利用NN′的中点在直线AB上，且NN′与AB垂直列式求得b，则a可求，椭圆E的方程可求．

解答 解：（1）设A（a，0），B（0，b），
∵BM=2MA，由比例性质可得$M（{\frac{2a}{3}，\frac{b}{3}}）$，
又∵直线OM的斜率为$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{\frac{b}{3}}{\frac{2a}{3}}=\frac{1}{4}$，即$\frac{2a}{3}=\frac{4b}{3}$，
∴a=2b，a²=4b²=4（a²-c²），则$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）∵C（0，-b），A（2b，0），
则由中点坐标公式可得$N（{b，-\frac{b}{2}}）$，
直线$AB：\frac{x}{2b}+\frac{y}{b}=1$，即x+2y-2b=0．
设N关于直线AB的对称点是${N^'}（{{x_0}，\frac{11}{5}}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_0}+b}}{2}+2×\frac{{\frac{11}{5}-\frac{b}{2}}}{2}-2b=0\\ \frac{{\frac{11}{5}-\frac{b}{2}}}{{{x_0}-b}}=2\end{array}\right.$，消去x₀得b=2，则a=2b=4．
椭圆方程为：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，掌握点关于直线的对称点的求法是解答该题的关键，是中档题．