Question

10．在极坐标系中，设直线过点A（$\sqrt{3}$，$\frac{2π}{3}$），B（3，$\frac{π}{2}$），且直线与曲线C：ρ=2rsinθ（r＞0）有且只有一个公共点，求实数r的值．

Answer 1

分析 把极坐标及其极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的充要条件即可得出．

解答 解：点A（$\sqrt{3}$，$\frac{2π}{3}$），B（3，$\frac{π}{2}$），分别化为直角坐标A$（\sqrt{3}cos\frac{2π}{3}，\sqrt{3}sin\frac{2π}{3}）$，B$（3cos\frac{π}{2}，3sin\frac{π}{2}）$，即A$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$，B（0，3）．
∴直线AB的方程为：y=$\frac{3-\frac{3}{2}}{0-（-\frac{\sqrt{3}}{2}）}$x+3，化为：y=$\sqrt{3}x$+3．
直线与曲线C：ρ=2rsinθ（r＞0）化为：ρ²=2rρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²=2ry，配方为：x²+（y-r）²=r²，可得圆心C（0，r），半径r．
∵直线与曲线C：ρ=2rsinθ（r＞0）有且只有一个公共点，
∴直线与圆C相切，∴$\frac{|-r+3|}{2}$=r，解得r=1．

点评 本题考查了极坐标及其极坐标方程化为直角坐标方程的方法、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．