Question

20．抛物线C：y²=4x的焦点为F，点P为抛物线上位于第一象限的点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，若$\overrightarrow{FP}$在$\overrightarrow{FM}$方向上的投影为$\sqrt{2}$，则△FPM的外接圆的方程为（　　）

• A． （x-1）²+（y-1）²=1
• B． （x-1）²+（y-2）²=4
• C． x²+（y-2）²=5
• D． x²+（y-1）²=2

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得△PMF为等腰三角形，P在MF上的投影为中点，由题意结合向量的投影概念，设出P的坐标，由两点的距离公式可得P的坐标，进而判断三角形的形状，求得圆心和半径，即可得到所求方程．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，
由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，
即△PMF为等腰三角形，P在MF上的投影为中点，
由 $\overrightarrow{FP}$在$\overrightarrow{FM}$方向上的投影为$\sqrt{2}$，可得|MF|=2$\sqrt{2}$，
设P（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），可得M（-1，m），
即有$\sqrt{{（1+1）}^{2}{+m}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
解得m=2，
即有P（1，2），M（-1，2），
三角形PFM为等腰直角三角形，∠MPF为直角，
三角形PFM的外接圆的圆心为MF的中点（0，1），
半径为$\sqrt{2}$，
可得圆的半径为x²+（y-1）²=2，
故选：D．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，向量的投影，圆的方程的求法，注意运用几何方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．