Question

11．设F₁、F₂为椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF₁F₂是以线段MF₁为底边的等腰三角形．若双曲线C₂的离心率e∈[${\frac{3}{2}$，4]，则椭圆C₁的离心率取值范围是（　　）

• A． [${\frac{4}{9}$，$\frac{5}{9}}$]
• B． [0，$\frac{3}{8}}$]
• C． [${\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}}$]
• D． [${\frac{5}{9}$，1）

Answer 1

分析 由题意及椭圆的性质，可求得MF₁=2a-2c，根据双曲线的性质求得A点的横坐标，求得$\frac{c}{a}$的取值范围，利用双曲线的离心率取值范围$\frac{3}{2}$≤$\frac{\frac{c}{a}}{1-\frac{2c}{a}}$≤4，椭圆离心率e₁=$\frac{c}{a}$，
代入求得椭圆离心率e₁的取值范围．

解答 解：∵△MF₁F₂为等腰三角形，
∴MF₂=F₁F₂=2c，
根据椭圆定义应该有，MF₂+MF₁=2a=2c+MF₁，可推出MF₁=2a-2c，
∵双曲线也以F₁和F₂为焦点，根据其定义也有：MF₁-MF₂=（2a-2c）-2c=2a-4c，
∴A点横坐标为a-2c，由a-2c＞0，得：0＜$\frac{c}{a}$＜$\frac{1}{2}$；
双曲线离心率e范围：$\frac{3}{2}$≤e=$\frac{丨O{F}_{2}丨}{丨OA丨}$=$\frac{c}{a-2c}$=$\frac{\frac{c}{a}}{1-\frac{2c}{a}}$≤4，①
因此求得椭圆离心率e₁=$\frac{c}{a}$，
当0＜e₁＜$\frac{1}{2}$时，解得①：$\frac{3}{8}$≤e₁=$\frac{c}{a}$≤$\frac{4}{9}$；
故答案选：C．

点评 本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意双曲线、椭圆性质的灵活运用，是中档题．