Question

3．关于函数f（x）=5sin3x+5$\sqrt{3}$cos3x，下列说法正确的是（　　）

• A． 函数f（x）关于x=$\frac{5}{9}$π对称
• B． 函数f（x）向左平移$\frac{π}{18}$个单位后是奇函数
• C． 函数f（x）关于点（$\frac{π}{18}$，0）中心对称
• D． 函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{20}$]上单调递增

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．

解答 解：对于函数f（x）=5sin3x+5$\sqrt{3}$cos3x=10•（$\frac{1}{2}$sin3x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos3x）=10sin（3x+$\frac{π}{3}$），
令3x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，可得函数的图象关于直线x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z对称，故A错误．
把函数f（x）向左平移$\frac{π}{18}$个单位后得到y=10sin[3（x+$\frac{π}{18}$）+$\frac{π}{3}$]=10sin（3x+$\frac{π}{2}$）=10cos3x的图象，为偶函数，故B错误．
令x=$\frac{π}{18}$，求得f（x）=10，为函数的最大值，故函数的图象关于直线x=$\frac{π}{18}$对称，故C错误．
在区间[0，$\frac{π}{20}$]上，3x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{29π}{60}$]，故函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{20}$]上单调递增，故D正确．
故选：D．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．