Question

14．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂作垂直于F₁F₂的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，△F₁AB的面积为4$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）动直线l：y=kx+m与椭圆C交于P、Q两点，且OP⊥OQ，是否存在圆x²+y²=r²使得l恰好是该圆的切线，若存在，求出r，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意求得A，B的坐标，由椭圆离心率、三角形F₁AB的面积及隐含条件列方程组，求解方程组得a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得x₁x₂，y₁y₂的值，结合OP⊥OQ，即x₁x₂+y₁y₂=0，求得m与k的关系，并得到m的范围，由圆心到直线的距离求得圆的半径，得到存在圆x²+y²=$\frac{8}{3}$使得l恰好是该圆的切线．

解答 解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），
∵AB⊥F₁F₂，∴设A（c，y₀），B（c，-y₀），其中y₀＞0，
又∵A，B在椭圆上，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得${y}_{0}=\frac{{b}^{2}}{a}$．
∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，△F₁AB的面积为4$\sqrt{2}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{2}•2c•\frac{2{b}^{2}}{a}=4\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．
∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=64k²-8m²+32＞0
∴8k²-m²+4＞0．①
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$．
${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∵OP⊥OQ，∴x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=0$．
∴${k}^{2}=\frac{3{m}^{2}-8}{8}$＞0．②
联立①②得，${m}^{2}≥\frac{8}{3}$．
∵l与圆x²+y²=r²相切，∴${r}^{2}=\frac{|m{|}^{2}}{1+{k}^{2}}=\frac{8}{3}$．
∴存在圆x²+y²=$\frac{8}{3}$使得l恰好是该圆的切线．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了“设而不求”及“整体运算”思想方法，是中档题．