Question

8．现有编号依次为：1，2，3，…，n的n级台阶，小明从台阶1出发顺次攀登，他攀登的步数通过抛掷骰子来决定；骰子的点数小于5时，小明向前一级台阶；骰子的点数大于等于5时，小明向前两级台阶．
（1）若抛掷骰子两次，小明到达的台阶编号记为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）求小明恰好到达编号为6的台阶的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知可得随机变量ξ的值可能为3，4，5，进而可由古典概型概念公式，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式，可得数学期望
（2）小王恰好到达6有三种情形，分别求出相对应的概率，根据概率公式计算即可．

解答 解：（1）ξ的可能取值为3，4，5…（1分）$P（ξ=3）=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，$P（ξ=4）=C_2^1\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$，$P（ξ=5）=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$…（4分）
ξ的分布列为

ξ	3	4	5
p	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{9}$

$Eξ=3×\frac{4}{9}+4×\frac{4}{9}+5×\frac{1}{9}=\frac{11}{3}$…（7分）
（2）小王恰好到达6有三种情形
①抛掷骰子五次，出现点数全部小于5，概率${P_1}={（{\frac{2}{3}}）^5}=\frac{32}{243}$；        …（8分）
②抛掷骰子四次，出现点数三次小于5，一次大于等于5，概率为${P_2}=C_4^1{（{\frac{2}{3}}）^3}\frac{1}{3}=\frac{32}{81}$；…（9分）
③抛掷骰子三次，出现点数一次小于5，两次大于等于5，概率${P_3}=C_3^2{（{\frac{1}{3}}）^2}\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$…（10分）
所以$P=\frac{32}{243}+\frac{32}{81}+\frac{2}{9}=\frac{182}{243}$
即小王恰好到达正整数6的概率为$\frac{182}{243}$．                            …（12分）

点评 本题考查的知识点是离散型随机变量的分布列与数学期望，等可能事件的概率，是概率问题的综合应用，难度不大，属于基础题．