Question

16．2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭，它们中有二孩计划的家庭频数分布如下表：

家庭月收入 （单位：元）	2千以下	2千～5千	5千～8千	8千～一万	1万～2万	2万以上
调查的总人数	5	10	15	10	5	5
有二孩计划的家庭数	1	2	9	7	3	4

（Ⅰ）由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由．

	收入不高于8千的家庭数	收入高于8千的家庭数	合计
有二孩计划的家庭数
无二孩计划的家庭数
合计

（Ⅱ）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为$\frac{1}{2}$，且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在8千～1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有X个，求X的分布列及数学期望．
下面的临界值表供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025
k	2.072	2.706	3.841	5.024

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意得a=12，b=18，c=14，d=6，从而得到2×2列联表，从而求出K²≈4.327＞3.841，从而有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关．
（II）由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{2}$），由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）依题意得a=12，b=18，c=14，d=6

	收入不高于8千的家庭数	收入高于8千的家庭数	合计
有二孩计划的家庭数	12	14	26
无二孩计划的家庭数	18	6	24
合计	30	20	50

${K^2}=\frac{{50（12×6-18×14{）^2}}}{30×20×26×24}=\frac{225}{52}≈4.327＞3.841$
因此有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关．
（II）由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{2}$），
$P（X=0）={（\frac{1}{2}）^3}$=$\frac{1}{8}$，
$P（X=1）=C_3^1（\frac{1}{2}）•{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{3}{8}$，
$P（X=2）=C_3^2{（\frac{1}{2}）^2}•\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$，
$P（X=3）={（\frac{1}{2}）^3}=\frac{1}{8}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

$E（X）=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识、二项分布的性质的合理运用．