Question

20．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，皆六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，依此算法，现有上、下底面为相似矩形的棱台，相似比为$\frac{1}{2}$，高为3，其上底面的周长为6，则该棱台的体积的最大值为（　　）

• A． 14
• B． 56
• C． $\frac{63}{4}$
• D． 63

Answer 1

分析 设上底面的长为x，宽为y，则x+y=3，x＞0，y＞0，由此得到该棱台的体积V=[（2x+2x）y+（4x+x）•2y]×$3×\frac{1}{6}$，利用基本不等式能求出该棱台的体积的最大值．

解答 解：设上底面的长为x，宽为y，则x+y=3，x＞0，y＞0，
∴该棱台的体积V=[（2x+2x）y+（4x+x）•2y]×$3×\frac{1}{6}$=7xy≤7×（$\frac{x+y}{2}$）²=7×$\frac{9}{4}$=$\frac{63}{4}$．
∴该棱台的体积的最大值为$\frac{63}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查棱台的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．