已知点P在抛物线x2=y上运动.过点P作y轴的垂线段PD.垂足为D．动点M(x.y)满足$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$.设点M的轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的方程,(Ⅱ)设直线l:y=-1.若经过点F(0.1)的直线与曲线C相交于A.B两点.过点A.B分别作直线l的垂线.垂足分别为A1.B1.试判断直线A1F与B1F的位置关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．已知点P在抛物线x²=y上运动，过点P作y轴的垂线段PD，垂足为D．动点M（x，y）满足$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$，设点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=-1，若经过点F（0，1）的直线与曲线C相交于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为A₁、B₁，试判断直线A₁F与B₁F的位置关系，并证明你的结论．

分析（Ⅰ）设P（x₀，y₀），由$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$知点P为线段DM的中点，$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{1}{2}x\\{y_0}=y\end{array}\right.$，利用点P在抛物线x²=y上，然后求解曲线C的方程．
（Ⅱ）判断：直线A₁F与B₁F垂直，证明如下：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A₁（x₁，-1），B₁（x₂，-1），由已知，直线AB的斜率k存在，设其方程为y=kx+1，联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，通过计算$\overrightarrow{{A}_{1}F}•\overrightarrow{{B}_{1}F}$的数量积，推出结果．

解答（本小题满分12分）
解（Ⅰ）设P（x₀，y₀），由$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$知点P为线段DM的中点，故$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{1}{2}x\\{y_0}=y\end{array}\right.$…（2分）
因为点P在抛物线x²=y上，故${x_0}^2={y_0}$，从而${（\frac{1}{2}x）^2}=y$…（4分）
即曲线C的方程为x²=4y…（5分）
（Ⅱ）判断：直线A₁F与B₁F垂直，…（6分）
证明如下：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A₁（x₁，-1），B₁（x₂，-1），由已知，直线AB的斜率k存在，设其方程为y=kx+1．…（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$得：x²-4kx-4=0…（8分）
所以x₁x₂=-4，…（9分）
因为 $\overrightarrow{{A_1}F}=（-{x_1}，2）$，$\overrightarrow{{B_1}F}=（-{x_2}，2）$，…（10分）
故$\overrightarrow{{A_1}F}•\overrightarrow{{B_1}F}={x_1}{x_2}+4=0⇒\overrightarrow{{A_1}F}⊥\overrightarrow{{B_1}F}$…（11分）
所以直线A₁F与B₁F垂直．…（12分）
（其它解法参照给分）

点评本题考查抛物线的方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率的数量积与直线的垂直关系，考查转化思想以及计算能力．

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