Question

5．直线l与双曲线x²-4y²=4相交于A、B两点，若点P（4，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是x-y-3=0．

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，进而求得直线AB的斜率，根据点斜式求得直线的方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=8，y₁+y₂=2，
∵x₁²-4y₁²=4，x₂²-4y₂²=4，
两式相减可得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）-4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴8（x₁-x₂）-8（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=1，
∴直线的方程为y-1=1（x-4），即x-y-3=0．
故答案为：x-y-3=0．

点评 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．