Question

20．如图，在二面角α-l-β的棱l上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，若二面角α-l-β的大小为$\frac{π}{3}$，AB=AC=2，BD=3，则CD=（　　）

• A． $\sqrt{11}$
• B． $\sqrt{14}$
• C． $2\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{23}$

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，利用数量积的性质即可得出．

解答 解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AB}$=0，
∵＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$＞=60°，∴＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{BD}$＞=120°
∵$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{CD}$²=$\overrightarrow{CA}$²+$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{BD}$²+2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=2²+2²+3²+0+2×2×3×cos120°+0=11，
∴CD=$\sqrt{11}$．
故选A．

点评 熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．