Question

2．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为$ρ=2（{sinθ+cosθ+\frac{1}{ρ}}）$．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上任取一点P（x，y），求的3x+4y最大值．

Answer 1

分析 （1）根据y=ρsinθ，x=ρcosθ，求出C的普通方程，从而求出参数方程即可；
（2）设出P的坐标，从而求出3x+4y的最大值即可．

解答 解：（1）由$ρ=2（{sinθ+cosθ+\frac{1}{ρ}}）$，得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ+1），
∴x²+y²=2x+2y+2，即（x-1）²+（y-1）²=4，
故曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=1+2sinθ\end{array}\right.（θ$为参数）．
（2）由（1）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π），
∴3x+4y=3+6cosθ+4+8sinθ=7+10sin（θ+φ），
∴（3x+4y）_max=7+10=17．

点评 本题考查了极坐标方程以及参数方程和普通方程的转化，考查求函数的最大值问题，是一道中档题．