Question

3．数列{a_n}中，对任意自然数n∈N_*，恒有a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²…+a_n²=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）．

Answer 1

分析 由题意易得a_n=2^n-1，可得{a_n²}是1为首项，4为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得．

解答 解：当n=1时，可得a₁=2¹-1=1，
当n≥2时，a_n=（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_n-1）
=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
当n=1时上式也适合，∴a_n=2^n-1，
∴$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{2}^{2n}}{{2}^{2n-2}}$=4，
∴{a_n²}是1为首项，4为公比的等比数列，
∴a₁²+a₂²+a₃²…+a_n²=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）．
故答案为：$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）．

点评 本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的判定，考查运算能力，属基础题．