Question

8．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=AC=3，又$cos∠BAC=-\frac{3}{5}$，则该三棱锥外接球的表面积为49π．

Answer 1

分析 由余弦定理求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P-ABC的外接球的表面积．

解答 解：∵AB=AC=3，$cos∠BAC=-\frac{3}{5}$，
∴由余弦定理可得BC=$\sqrt{9+9-2×3×3×（-\frac{3}{5}）}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∵sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∴△ABC外接圆的半径为r=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R²=1²+（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$）²=$\frac{49}{4}$，
∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR²=49π．
故答案为：49π．

点评 本题考查三棱锥P-ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P-ABC的外接球的半径是关键．