Question

3．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为${F_1}，{F_2}，{a^2}+{b^2}=4$，短轴端点B与两焦点F₁，F₂构成的三角形面积最大时，椭圆的短半轴长为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 a²+b²=4，即2b²+c²=4，利用基本不等式的性质可得bc≤$\sqrt{2}$，进而得出答案．

解答 解：∵a²+b²=4，∴2b²+c²=4≥2$\sqrt{2{b}^{2}•{c}^{2}}$，化为：bc≤$\sqrt{2}$，当且仅当c=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$时取等号．
∴${S}_{△{F}_{1}{F}_{2}B}$=$\frac{1}{2}×2c×b$=bc≤$\sqrt{2}$，此时取等号时，b=1，
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．