Question

18．已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前三项为a，2，a+3，记前n项和为S_n．
（1）设S_n=63，求a和n的值；
（2）令b_n=（2n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的中项性质和公比的定义，及其前n项和公式即可得出a，n；
（2）求得b_n=（2n+1）a_n=（2n+1）•2^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵各项均为正数的等比数列{a_n}的前三项为a，2，a+3，
∴2²=a（a+3），化为a²+3a-4=0，解得a=1或-4．
∵a＞0，∴a=1．
∴a₁=1，a₂=2，公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2．
∴S_n=63=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$，解得n=6．
∴a=1，n=6．
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1．
b_n=（2n+1）a_n=（2n+1）•2^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3•2⁰+5•2¹+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，
∴2T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ，
∴-T_n=3+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ
=3+2•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）•2ⁿ=（1-2n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的求和方法：“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．