Question

8．如图，过函数f（x）=log_cx（c＞1）的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）=log_mx（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC与x轴平行．
（1）当a=2，b=4，c=3时，求实数m的值；
（2）当b=a²时，求$\frac{m}{b}$-$\frac{2c}{a}$的最小值；
（3）已知h（x）=a^x，φ（x）=b^x，若x₁，x₂为区间（a，b）任意两个变量，且x₁＜x₂，求证：h（f（x₂））＜φ（f（x₁））

Answer 1

分析 （1）根据A，C两点的纵坐标相等列方程即可解出m；
（2）据A，C两点的纵坐标相等得出a，b，c，m的关系，代入$\frac{m}{b}$-$\frac{2c}{a}$得出关于$\frac{c}{a}$的代数式，利用二次函数的性质得出最值；
（3）计算h（f（x₂）），φ（f（x₁）），利用指数函数，对数函数的单调性比较大小．

解答 解：（1）由题意得A（2，log₃2），B（4，log₃4），$C（4，log_m^{\;}4）$．
又AC与x轴平行，∴log_m4=log₃2，
解得m=9．
（2）由题意得A（a，log_ca），B（b，log_cb），$C（b，log_m^{\;}b）$．
∵AC与x轴平行，∴log_mb=log_ca．
∵b=a²，∴m=c²，
∴$\frac{m}{b}-\frac{2c}{a}=\frac{c^2}{a^2}-\frac{2c}{a}={（{\frac{c}{a}-1}）^2}-1$．
∴$\frac{c}{a}=1$时，$\frac{m}{b}$-$\frac{2c}{a}$取得最小值-1．
（3）h（f（x₂））=a${\;}^{lo{g}_{c}{x}_{2}}$，φ（x₁）=b${\;}^{lo{g}_{c}{x}_{1}}$，
∵a＜x₁＜x₂＜b，且c＞1，∴log_ca＜log_cx₁＜log_cx₂＜log_cb．
又∵a＞1，b＞1，∴${a^{{{log}_c}{x_2}}}＜{a^{{{log}_c}b}}，{b^{{{log}_c}a}}＜{b^{{{log}_c}{x_1}}}$．
又∵log_cb•log_ca=log_ca•log_cb，∴${log_c}{a^{{{log}_c}b}}={log_c}{b^{{{log}_c}a}}$．
∴${a^{{{log}_c}b}}={b^{{{log}_c}a}}$，∴${a^{{{log}_c}{x_2}}}＜{b^{{{log}_c}{x_1}}}$．
即h[f（x₂）]＜φ（f（x₁））．

点评 本题考查了对数计算，对数函数的性质和应用，属于中档题．