Question

17．将函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根据辅助角公式，化简函数得y=2sin（x+$\frac{π}{3}$），从而得出平移后的图象对应的函数为y=2sin（x+$\frac{π}{3}$-φ）．由平移后的图象关于原点对称，根据正弦函数的图象与性质得到$\frac{π}{3}$-φ=kπ（k∈Z），再取k=0得到φ的最小正值为$\frac{π}{3}$．

解答 解：y=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
将函数的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后，得到y=2sin[（x-φ）+$\frac{π}{3}$]=2sin（x+$\frac{π}{3}$-φ）的图象．
∵平移后得到的图象关于坐标原点对称，
∴$\frac{π}{3}$-φ=kπ（k∈Z），可得φ=$\frac{π}{3}$-kπ（k∈Z），
取k=0，得到φ的最小正值为$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题给出三角函数表达式，已知函数图象右移φ个单位个图象关于原点对称，求平移的最小长度．着重考查了三角恒等变换公式、正弦函数的图象与性质和函数图象平移公式等知识，属于中档题．