Question

在等比数列{a_n}中，若a₁+a₂+a₃+a₄=

15

8

，a₂a₃=-

9

8

，则

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

=

-

5

3

．

Answer 1

分析：当等比数列{a_n}的公比q为1时，a₂=a₃，可得a₂a₃=a₂²大于0，与a₂a₃等于负值矛盾；故q不为1，利用等比数列的求和公式表示出a₁+a₂+a₃+a₄，又数列数列{a_n}为等比数列，可得{

1

an

}也为等比数列，利用等比数列的求和公式表示出所求的式子，表示出的两式相除，化简整理后再利用等比数列的通项公式变形得到其商等于a₂a₃的值，进而根据a₁+a₂+a₃+a₄与a₂a₃的值即可求出所求式子的值．

解答：解：若q=1，可得a₂=a₃，a₂a₃=a₂²＞0，不合题意；
∴q≠1，
∴a₁+a₂+a₃+a₄=

a1(1-q4)

1-q

，
又数列{

1

an

}表示首项为

1

a1

，公比为

1

q

的等比数列，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

=

1 a1 (1-  1 q4 )

1- 1 q

，
∵a₂a₃=-

9

8

，a₁+a₂+a₃+a₄=

15

8

，
两式右边相除得：

a1(1-q4) 1-q

1 a1 (1- 1 q4 ) 1- 1 q

=a₁²q³=a₂a₃=-

9

8

，
则

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

=

15 8

- 9 8

=-

5

3

．
故答案为：-

5

3

点评：此题考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，其技巧性比较强，解题的思路是根据题意等比数列{a_n}得出数列{

1

an

}表示首项为

1

a1

，公比为

1

q

的等比数列，分别利用前n项和公式表示出两关系式，然后两关系式相除，得到的商与a₂a₃的值相等，进而求出所求式子的值．