Question

已知等差数列{a_n}的公差d=2，首项a₁=5．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）设T_n=n（2a_n-5），求S₁，S₂，S₃，S₄，S₅；T₁，T₂，T₃，T₄，T₅，并归纳出S_n与T_n的大小规律．

Answer 1

分析：（1）已知等差数列{a_n}的首项与公差，代入前n项和公式，计算可得答案，
（2）根据题意，由（1）的结果，易得T_n=4n²+n，进而可得T₁，T₂，T₃，T₄，T₅的值，由（1）可得S₁，S₂，S₃，S₄，S₅的值，比较大小，归纳可得答案．

解答：解：（1）S_n=5n+

n(n-1)

2

×2=n（n+4）．
（2）T_n=n（2a_n-5）=n[2（2n+3）-5]，
∴T_n=4n²+n．
∴T₁=5，T₂=4×2²+2=18，T₃=4×3²+3=39，
T₄=4×4²+4=68，T₅=4×5²+5=105．
S₁=5，S₂=2×（2+4）=12，S₃=3×（3+4）=21，
S₄=4×（4+4）=32，S₅=5×（5+4）=45．
由此可知S₁=T₁，当n≥2时，S_n＜T_n．
归纳猜想：当n≥2，n∈N时，S_n＜T_n．

点评：本题考查数列前n项和的运算，解题时要注意S_n与a_n的关系．