Question

（2007•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别是A'B'和AB的中点，求异面直线A'F与CE所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（法一）如图建立空间直角坐标系，把要求的角转化为向量

A′F

，

CE

的夹角，用坐标运算求解；（法二）：连接EB，可证A'FBE是平行四边形，可得异面直线A'F与CE所成的角就是CE与EB所成的角，在Rt△CEB中，可得tan∠CEB=

2 5

5

，由反正切可得所求的角．

解答：解：（法一）如图建立空间直角坐标系．   …（2分）

由题意可知A′（2，0，2），C（0，2，0），E（2，1，2），F（2，1，0）．
∴

A′F

=( 0，1，-2 )，

CE

=( 2，-1，2 )．…（6分）
设直线A′F与CE所成角为θ，
则cosθ=

|  A′F • CE  |

|  A′F  |•|  CE  |

=

5

5 •3

=

5

3

．  …（10分）
∴θ=arccos

5

3

，
即异面直线A'F与CE所成角的大小为arccos

5

3

．          …（12分）
（法二）：连接EB，…（2分）

∵A'E∥BF，且A'E=BF，∴A'FBE是平行四边形，则A'F∥EB，
∴异面直线A'F与CE所成的角就是CE与EB所成的角．     …（6分）
由CB⊥平面ABB'A'，得CB⊥BE．
在Rt△CEB中，CB=2，BE=

5

，
则tan∠CEB=

2 5

5

，…（10分）
∴∠CEB=arctan

2 5

5

．
∴异面直线A'F与CE所成角的大小为arctan

2 5

5

．         …（12分）

点评：本题考查异面直线所成的角，涉及反三角函数的应用，属中档题．