Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x²+y²=a²的切线FM，交y轴于点P，切圆于点M，若2

OM

=

OF

+

OP

，则双曲线的离心率是（　　）

• A、

  5

• B、

  3

• C、2
• D、

  2

Answer 1

分析：根据向量加法法则，得到OM是△POF中PF边上的中线．由PF与圆x²+y²=a²相切得到OM⊥PF，从而可得△POF是等腰直角三角形，∠MF0=45°．最后在Rt△OMF利用三角函数的定义算出

a

c

=

2

2

，可得双曲线的离心率大小．

解答：解：∵2

OM

=

OF

+

OP

，
∴△POF中，OM是PF边上的中线．
∵PF与圆x²+y²=a²相切，∴OM⊥PF，
由此可得△POF中，PO=FO，∠MF0=45°，
又∵Rt△OMF中，OM=a，OF=c，
∴sin∠MF0=

OM

OF

=

2

2

，即

a

c

=

2

2

．
因此，双曲线的离心率e=

c

a

=

2

．
故选：D

点评：本题在双曲线中给出向量关系式，在直线与圆相切的情况下求双曲线的离心率．着重考查了解直角三角形、向量的加法法则、直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于中档题．