Question

13．已知（1+2$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的$\frac{5}{6}$．
（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；
（2）求展开式中的有理项．

Answer 1

分析 利用条件建立方程，求出r，n．
（1）令r=1得展开式中所有项的系数之和；所有项的二项式系数之和为2⁷；
（2）展开式的通项为T_r+1=${C}_{7}^{r}•{2}^{r}•{x}^{\frac{r}{2}}$，r≤7且r∈N．于是当r=0，2，4，6时，对应项为有理数．

解答 解：根据题意，设该项为第r+1项，则
有$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{n}^{r}•{2}^{r}=2{C}_{n}^{r-1}•{2}^{n-1}}\\{{C}_{n}^{r}•{2}^{r}=\frac{5}{6}{C}_{n}^{r+1}•{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得r=4，n=7
（1）令r=1得展开式中所有项的系数之和为（1+2）⁷=3⁷=2187．
所有项的二项式系数之和为2⁷=128．
（2）展开式的通项为T_r+1=${C}_{7}^{r}•{2}^{r}•{x}^{\frac{r}{2}}$，r≤7且r∈N．
于是当r=0，2，4，6时，对应项为有理数，
即有理数项为T₁=${C}_{7}^{1}$2⁰x⁰=1，T₃=${C}_{7}^{2}$2²x=84x，
T₅=${C}_{7}^{4}$2⁴x²=560x²，T₇=${C}_{7}^{6}$2⁶x³=488x³．

点评 本题考查二项式定理的运用，考查展开式的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．