Question

13．已知函数f（x）=log₉（9^x+1）+kx是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-a无零点，求a的取值范围；
（3）设t（x）=log₉（m3^x-$\frac{4}{3}$m），若函数h（x）=f（x）-t（x）有且只有一个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）因为f（x）为偶函数所以f（-x）=f（x）代入求得k的值即可；
（2）函数与直线没有交点即log₉（9^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+a无解，即方程log₉（9^x+1）-x=a无解．令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．推出g（x）为减函数得到g（x）＞0，所以让a≤0就无解．
（3）函数h（x）=f（x）-t（x）有且只有一个零点即函数f（x）与t（x）的图象有且只有一个公共点，即联立两个函数解析式得到方程，方程只有一个解即可．

解答 解：（1）因为y=f（x）为偶函数，
所以?x∈R，f（-x）=f（x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx对于?x∈R恒成立．
即2kx=log₉（9^-x+1）-log₉（9^x+1）=log₉（ $\frac{{9}^{-x}+1}{{9}^{x}+1}$）=log₉（9^-x）=-x恒成立，
即（2k+1）x=0恒成立，
而x不恒为零，所以k=-$\frac{1}{2}$．
（2）由题意知方程log₉（9^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+a即方程log₉（9^x+1）-x=a无解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=a无交点．
因为g（x）=log₉（ $\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}$）=log₉（1+$\frac{1}{{9}^{x}}$），
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则0＜9^x₁＜9^x₂，从而 $\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}$＞$\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}$．
于是log₉（1+$\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}$）＞log9（1+$\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}$），即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数，
因为1+$\frac{1}{{9}^{x}}$＞1，所以g（x）=log₉（1+$\frac{1}{{9}^{x}}$）＞0，
所以a的取值范围是（-∞，0）．
（3）若函数h（x）=f（x）-t（x）有且只有一个零点，
则方程3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$=m•3^x-$\frac{4}{3}$m有且只有一个实数根．
令3^x=t＞0，则关于t的方程（m-1）t²-$\frac{4}{3}$mt-1=0（记为（*））有且只有一个正根．
若m=1，则t=-$\frac{3}{4}$，不合题意，舍去；
若m≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．
由△=0⇒m=$\frac{3}{4}$或-3；
但m=$\frac{3}{4}$⇒t=-$\frac{1}{2}$，不合题意，舍去；
而m=-3⇒t=$\frac{1}{2}$；
方程（*）的两根异号?（m-1）•（-1）＜0，即-m+1＜0，解得：m＞1．
综上所述，实数m的取值范围{-3}∪（1，+∞）．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．