Question

8．在某项娱乐活动的海选过程中，评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在（40，60）内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．
（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手的成绩平均数和中位数；
（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率如表：

参赛选手成绩所在区间	（40，50]	（50，60）
每名选手能够进入第二轮的概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$

假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手的成绩分别为（单位：分）45，52，58，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图的性质先求出a，由此能估计这200名参赛选手的成绩平均数和中位数．
（2）根据题意知，成绩在（40，50]，（50，60）内选手分别有1名和2名，随机变量X的取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）因为10×（0.01+0.02+0.05+a）=1，
所以a=0.04．
平均数$\overline x=10×（65×0.01+75×0.04+85×0.02+95×0.03）=82$．
由图可知可视为两个矩形面积之和为0.5k，
则中位数为80．
（2）根据题意知，成绩在（40，50]，（50，60）内选手分别有1名和2名，
随机变量X的取值为0，1，2，3．
$P（x=0）=\frac{1}{2}×{（\frac{1}{3}）^2}=\frac{1}{18}$，
$P（x=1）=\frac{1}{2}×{（\frac{1}{3}）^2}+\frac{1}{2}×C_2^1\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{5}{18}$，
$P（x=2）=\frac{1}{2}×C_2^1\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{4}{9}$，
$P（x=3）=\frac{1}{2}×{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{2}{9}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$

$EX=\frac{5}{18}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{2}{9}=\frac{11}{6}$．

点评 本题考查频率分布直方图的性质及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．