Question

17．如图所示是一个几何体的三视图（单位：cm），主视图和左视图是底边长为4，腰长为$2\sqrt{2}$的等腰三角形，俯视图是边长为4的正方形，求几何体的表面积和体积．

Answer 1

分析 俯视图是正方形，且内部有两条相交的实线，说明原几何体有能够看到的侧棱，再结合主视图和左视图是两个全等的等腰三角形，还原得到原几何体是正四棱锥．

解答 解：由三视图可知原几何体是如图所示的正四棱锥：

正四棱锥的底面边长AB=4，斜高PE=2$\sqrt{2}$，PO=2，
所以正四棱锥的表面积为四个侧面的面积加上底面积，
即S=4×$\frac{1}{2}$×AD×PE+AB×BC=4×$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{2}$+4×4=16+16$\sqrt{2}$，
V=$\frac{1}{3}$×4×4×2=$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了由三视图求原几何体的表面积和体积，解答的关键是如何由几何体的三视图还原得到原几何体，由三视图得原几何体，首先分析俯视图，结合主视图和左视图得原图形，此题是中档题．