Question

18．已知定义域为R的奇函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；当x∈（0，1）时f′（x）＞0，且f（2）=0，则关于x的不等式（x+1）f（x）＞0的解集为（-2，-1）∪（0，2）．

Answer 1

分析 利用导数研究函数的单调性，可得极值与最值，又函数f（x）为R上的奇函数，且f（2）=0，可得图象：对x与-1的大小关系分类讨论即可得出．

解答 解：当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值即为最大值，又函数f（x）为R上的奇函数，且f（2）=0，可得图象：
关于x的不等式（x+1）f（x）＞0（x≠-1）等价于：
$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
解得：0＜x＜2，或-2＜x＜-1．
∴不等式（x+1）f（x）＞0的解集为（-2，-1）∪（0，2）．
故答案为：（-2，-1）∪（0，2）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值与图象、函数的奇偶性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．