Question

20．已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）若F（x）为奇函数且定义域为R，且x＞0时，F（x）=f（x），求F（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设f（x）=kx+b，利用待定系数法求解．
（Ⅱ）F（x）为奇函数且定义域为R，x＞0时，F（x）=f（x），分段考虑F（x）的解析式即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意：f（x）是一次函数，那么设f（x）=kx+b，则有：3（kx+k+b）-2（kx-k+b）=2x+17，
$\left\{\begin{array}{l}{kx=2x}\\{b+5k=17}\end{array}\right.$，解得：k=2，b=7，
所以：f（x）的解析式为f（x）=2x+7．
（Ⅱ）F（x）为奇函数且定义域为R，∴当x=0时，F（x）=0，
当x＞0时，F（x）=f（x）=2x+7．
当x＜0时，-x＞0，那么F（-x）=f（-x）=-2x+7．
又∵F（x）为奇函数，F（-x）=-F（x），
∴F（x）=2x-7．
所以：$F（x）=\left\{\begin{array}{l}{2x+7，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{2x-7，（x＜0）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了待定系数法求解析式的方法和分段函数的解析式的表示．属于基础题．