Question

3．已知△ABC，若存在△A₁B₁C₁，满足$\frac{cosA}{sin{A}_{1}}$=$\frac{cosB}{cos{B}_{1}}$=$\frac{cosC}{sin{C}_{1}}$=1，则称△A₁B₁C₁是△ABC的一个“友好”三角形．若等腰△ABC存在“友好”三角形，则其顶角的度数为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 设等腰△ABC中A=B，由已知得sinA₁=sinB₁，cosA=sinA₁，cosB=sinB₁，cosC=sinC₁，则A₁=B₁，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．

解答 解：设A=B，由已知得sinA₁=sinB₁，cosA=sinA₁，cosB=sinB₁，cosC=sinC₁，则A₁=B₁，
所以$A+{A_1}=\frac{π}{2}$，$B+{B_1}=\frac{π}{2}$，$C+{C_1}=\frac{π}{2}$（舍）或$A+{A_1}=\frac{π}{2}$，$B+{B_1}=\frac{π}{2}$，$C={C_1}-\frac{π}{2}$，
解得$C=\frac{π}{4}$．
故答案是：$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．