Question

（2012•北京）已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；
（2）当a²=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）根据a²=4b，构建函数h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+

1

4

a2x+1，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（-∞，-1）上的最大值．

解答：解：（1）f（x）=ax²+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k₁=2a，g（x）=x³+bx，则g′（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：

a=3 b=3

．
（2）由题设a²=4b，设h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+

1

4

a2x+1
则h′(x)=3x2+2ax+

1

4

a2，令h'（x）=0，解得：x1=-

a

2

，x2=-

a

6

；
∵a＞0，∴-

a

2

＜-

a

6

，

x	（-∞，- a 2 ）	- a 2	(- a 2 ，- a 6 )	- a 6	(- a 6 ，+∞）
h′（x）	+		-		+
h（x）		极大值		极小值

∴原函数在（-∞，-

a

2

）单调递增，在(-

a

2

，-

a

6

)单调递减，在(-

a

6

，+∞）上单调递增
①若-1≤-

a

2

，即0＜a≤2时，最大值为h(-1)=a-

a2

4

；
②若-

a

2

＜-1，即a＞2时，最大值为h(-

a

2

)=1
综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为h(-1)=a-

a2

4

；当a∈（2，+∞）时，最大值为h(-

a

2

)=1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．