Question

5．已知f（x）=log_a$\frac{1-mx}{1+x}$（a＞0，且a≠1，m≠-1）是定义在区间（-1，1）上的奇函数，
（1）求f（0）的值和实数m的值；
（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并说明理由；
（3）若f（$\frac{1}{2}$）＞0且f（b-2）+f（2b-2）＞0成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的特性，可得f（0）=0，再由f（-x）=-f（x），m≠-1，可得实数m的值；
（2）结合对数函数的图象和性质，及复合函数同增异减的原则，可得函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性；
（3）由f（$\frac{1}{2}$）＞0，可得函数f（x）在区间（-1，1）上的单调递增，结合函数的定义域和奇偶性，解不等式，可得实数b的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=log_a$\frac{1-mx}{1+x}$（a＞0，且a≠1，m≠-1）是定义在区间（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，
且f（-x）=-f（x），即${log}_{a}\frac{1+mx}{1-x}$=-${log}_{a}\frac{1-mx}{1+x}$，
即${log}_{a}\frac{1+mx}{1-x}$+${log}_{a}\frac{1-mx}{1+x}$=${log}_{a}\frac{1-{m}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=log_a1=0，
故m²=1，
又∵m≠-1，
故m=1，
（2）由（1）得f（x）=${log}_{a}\frac{1-x}{1+x}$=${log}_{a}（\frac{2}{1+x}-1）$，
令t=$\frac{2}{1+x}-1$，则t在区间（-1，1）上单调递减，
当0＜a＜1时，y=log_at为减函数，此时函数f（x）在区间（-1，1）上的单调递增；
当a＞1时，y=log_at为增函数，此时函数f（x）在区间（-1，1）上的单调递减；
（3）若f（$\frac{1}{2}$）=${log}_{a}\frac{1}{3}$＞0，则0＜a＜1，由（1）得，函数f（x）在区间（-1，1）上的单调递增，
若f（b-2）+f（2b-2）＞0，
则f（b-2）＞-f（2b-2），
则f（b-2）＞f（2-2b），
则-1＜2-2b＜b-2＜1，
解得：b∈（$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{2}$）

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，难度不大，属于基础题．