Question

2．已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，且椭圆过（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），单位圆O的切线l与椭圆C相交于A，B两点．
（1）求椭圆方程；
（2）求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：a+c-（a-c）=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，又a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）单位圆的方程为：x²+y²=1．对切线的斜率分类讨论：设圆的切线斜率存在时方程为：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²．与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可证明．圆的切线斜率不存在时直接求出验证即可得出．

解答 （1）解：∵中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，且椭圆过（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴a+c-（a-c）=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，又a²=b²+c²，
联立解得$c=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，a²=4．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1．
（2）证明：单位圆的方程为：x²+y²=1．
设圆的切线斜率存在时方程为：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+3k²）x²+6kmy+3m²-4=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=（1+k²）$\frac{3{m}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}$-$\frac{6{k}^{2}{m}^{2}}{1+3{k}^{2}}$+m²
=$\frac{4（{m}^{2}-{k}^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}$=0．
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴OA⊥OB．
当圆的切线斜率不存在时方程为：x=±1，
代入椭圆方程可得：1+3y²=4，解得y=±1，
∴A（1，1），B（1，-1）；A（-1，1），B（-1，-1）．
满足OA⊥OB．
综上可得：OA⊥OB．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、圆的方程及其切线性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．