Question

（2011•丹东模拟）已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（

1

2

，

3

），一个焦点是F（0，-

3

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁、A₂，点P在直线y=a²上，直线PA₁、PA₂分别与椭圆C交于M、N两点．试问：当点P在直线y=a²上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）假设椭圆方程，利用点（

1

2

，

3

）在椭圆上，即可确定椭圆方程；
（II）先确定直线MN恒经过定点Q（0，1），再证明：当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1）；当点P不在y轴上时，确定直线PA₁，PA₂与椭圆方程联立，确定交点坐标，进而可得斜率，由此可得结论．

解答：解：（I）一个焦点是F（0，-

3

），故c=

3

，可设椭圆方程为

y2

3+b2

+

x2

b2

=1      …（2分）
∵点（

1

2

，

3

）在椭圆上，∴

3

3+b2

+

1

4b2

=1
∴b²=1，b2=

3

4

（舍去）
∴椭圆方程为

y2

4

+x2=1                      …（4分）
（II）直线MN恒经过定点Q（0，1），证明如下：
当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1），…（6分）
当点P不在y轴上时，设P（t，4），A₁（0，2）、A₂（0，-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线PA₁方程y=

2

t

x+2，PA₂方程y=

6

t

x-2，
y=

2

t

x+2代入

y2

4

+x2=1得（1+t²）x²+2tx=0，
得x₁=-

2t

1+t2

，y₁=

2t2-2

1+t2

，∴kQM=

y1-1

x1

=

3-t2

2t

，…（8分）
y=

6

t

x-2代入

y2

4

+x2=1得（9+t²）x²-6tx=0
得x₂=

6t

9+t2

，y₂=

18-6t2

9+t2

，∴kQN=

y2-1

x2

=

3-t2

2t

，…（10分）
∴k_QM=k_QN，∴直线MN恒经过定点Q（0，1）．        …（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程确定交点坐标是关键．