Question

如图，已知四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE∥平面BDF；
（2）求三棱锥D-ACE的体积．

Answer 1

分析：（1）设AC∩BD=G，连接GF．由BF⊥面ACE，得到BF⊥CE，再由BE=BC，得到F为EC的中点．在矩形ABCD中，G为AC中点，由三角形的中位线可得到GF∥AE．再由线面平行的判定定理得证．
（2）如图所示：转化顶点，以平面ADC为底，又因为OE⊥AB，OE⊥AD，得到OE⊥面ADC．所以OE为底面上高，分别求得底面积和高，再用三棱锥的体积公式求解．

解答：证明：（1）设AC∩BD=G，连接GF．
因为BF⊥面ACE，CE?面ACE，所以BF⊥CE．
因为BE=BC，所以F为EC的中点．（3分）
在矩形ABCD中，G为AC中点，所以GF∥AE．（5分）
因为AE?面BFD，GF?面BFD，所以AE∥面BFD．（7分）
（2）取AB中点O，连接OE．因为AE=EB，所以OE⊥AB．
因为AD⊥面ABE，OE?面ABE，所以OE⊥AD，
所以OE⊥面ABD．（9分）
因为BF⊥面ACE，AE?面ACE，所以BF⊥AE．
因为CB⊥面ABE，AE?面ABE，所以AE⊥BC．
又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．（11分）
又BE?面BCE，所以AE⊥EB．
所以AB=

AE2+BE2

=2

2

，OE=

1

2

AB=

2

．（12分）
故三棱锥E-ADC的体积为
VD-AEC=VE-ADC=

1

3

S△ADC•OE=

1

3

×

1

2

×2×2

2

×

2

=

4

3

．（14分）

点评：本题主要考查线线，线面关系的转化，考查了线面平行，垂直的判定定理以及三棱锥体积的求法，属中档题．