Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点分别为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2 的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C，D分别为长轴的左右端点，O为坐标原点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，判断

OM

•

OP

是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于四边形F₁AF₂B是边长为2 的正方形，可得a=2，b=c，再利用a²=b²+c²即可解出b，c；
（2）判断

OM

•

OP

是定值4．设M（2，m），P（s，t），C（-2，0）．则直线CM的方程为：y=

m

4

(x+2)，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，即可得出点M的坐标用m表示，再利用数量积运算即可得出

OM

•

OP

是定值．

解答：解：（1）∵四边形F₁AF₂B是边长为2 的正方形，∴a=2，b=c，
∵a²=b²+c²，∴b=c=

2

．
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）判断

OM

•

OP

是定值4．下面给出证明：
设M（2，m），P（s，t），C（-2，0）．
则直线CM的方程为：y=

m

4

(x+2)，联立

y= m 4 (x+2) x2 4 + y2 2 =1

，
化为（8+m²）x²+4m²x+4m²-32=0，
∵直线与椭圆有两个交点，∴△=16m⁴-4（8+m²）（4m²-32）＞0，化为1＞0．
∴-2×s=

4m2-32

8+m2

，解得s=

16-2m2

8+m2

．
∴t=

8m

8+m2

．∴M(

16-2m2

8+m2

，

8m

8+m2

)．
∴

OM

•

OP

=(2，m)•(

16-2m2

8+m2

，

8m

8+m2

)=

32-4m2

8+m2

+

8m2

8+m2

=4为定值．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于难题．