Question

已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求：
（1）双曲线的标准方程；　　　　　
（2）双曲线的渐近线方程．

Answer 1

解：（1）∵椭圆焦点为F（±4，0），离心率为e=，而双曲线与椭圆共焦点，
∴双曲线的焦点为F（±4，0），又它们的离心率之和为，设该双曲线的离心率为e，则e+=，
∴e=2，即=2，而c=4，
∴a=2，b=2．
∴双曲线方程为：-=1；
（2）∵双曲线方程为：-=1，
∴其渐近线方程为y=±x，
即y=x或y=-x．
分析：（1）由题意可知双曲线的焦点在x轴，并求得焦点为F（±4，0），离心率为2，从而c=4，a=2，b=2；
（2）利用双曲线方程即可写出其渐近线方程．
点评：本题考查双曲线的标准方程与双曲线的简单性质，掌握双曲线的方程与性质是解决问题的基础，也是关键，属于基础题．