Question

【题目】已知函数， ．

（I）求的单调区间；

（II）若对任意的，都有，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) .

【解析】试题分析：对函数求导，针对参数进行讨论，研究函数得单调性；第二步为恒成立问题，当时，由于不满足题意要求，当 时，求出函数 的最大值，要使在上恒成立，只需 ，从而求出 的范围.

试题解析：（I）， 当时， 恒成立，则在上单调递增；当时，令，则．则在区间上单调递增，在区间上单调递减．

（II）方法1：

当时，因为，

所以不会有， ．

②当时，由（I）知， 在上的最大值为．

所以， 等价于．即．

设，由（I）知在上单调递增．

又，所以的解为．

故， 时，实数的取值范围是．

方法2： ， 等价于.令，则．

令，则．

因为当， 恒成立，

所以在上单调递减．

又，可得和在上的情况如下：

	+	0	-
	单调递增		单调递减

所以在上的最大值为．

因此， 等价于．

故， 时，实数的取值范围是．