Question

【题目】已知函数，()．

（1）若函数与的图象在上有两个不同的交点，求实数的取值范围；

（2）若在上不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对于时，任意，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】【试题分析】（1）依据题设将问题进行转化，再运用导数知识求解；（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数借助导数工具分析求解；（3）先构造函数，再依据题设与问题（2）的结论进行分析推证。

（1）设函数

，

①时，为单调减函数，不成立

②时，，；，

所以函数有唯一的极小值，需要，

又因为，，

所以在有两个零点，，有两个交点，

所以

（2）设函数，且

①当时，有，不成立，

②当时，（i）时，，当时，

所以在上是单调增函数，所以

（ii）时，设，

所以存在，使得时

，∴，不成立

综上所述

（3）不等式变形为

设函数，由第（2）问可知当时函数为单调函数，所以原不等式成立．