Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a，b，c∈R）在点（1，f（1））处的切线斜率为-

a

2

，且a＞2c＞b．
（1）证明：-2＜

b

a

＜-1．
（2）证明：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个极值点．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a，b，c∈R）在点（1，f（1））处的切线斜率为-

a

2

，根据导数的几何意义，得到a，b，c的一个方程，由a＞2c＞b，根据不等式的性质寻求关于a，b的不等式；
（2）求导，讨论导函数在区间（0，2）内的零点情况，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=ax2+bx+c，f′(1)=-

a

2

∴3a+2b+2c=0①
又∵a＞2c＞b，∴3a+2b+2c＜3a+2a+a=6a
结合①得a＞0
由①得2c=-3a-2b，∵a＞2c＞b，∴a＞-3a-2b＞b，
∵a＞0∴1＞-3-2•

b

a

＞

b

a

∴-2＜

b

a

＜-1
（Ⅱ）由①得∴f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=a-c，
（1）当c≤0时，∵a＞0，∴f′(1)=-

a

2

＜0且f'（2）=a-c＞0，∴f（x）在区间（1，2）内至少有一个极值点．
（2）当c＞0，∵a＞0，∴f'（0）=c＞0且f′(1)=-

a

2

＜0，∴f（x）在区间（0，1）内至少有一个极值点．
综合1°和2°得，函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个极值点．

点评：考查不等式的基本性质，由一个等式和一个不等式，探讨-2＜

b

a

＜-1成立，难度较大，有效的考查灵活应用知识分析解决问题的能力；应用导数求函数的极值，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．